Conjunto

Noción de Conjunto

  En matemáticas, se dice que un concepto es primario cuando no es posible definir-lo utilizando otros mas sencillos. Así, si se tratase de definir el concepto de conjunto seria que es una agrupación cualquiera de objetos, o una colección, o una reunión...; sin embargo, los términos <<agrupación>>, <<colección>>, <<reunión>> son conceptos del mismo nivel de dificultad que el conjunto. Por ello se dice que el concepto es un concepto primario.

Forman un conjunto, por ejemplo:

•  Los objetos que hay sobre una mesa de trabajo.
•  Los nombres de los días de la semana.
•  Los discos de una discoteca.
•  Los jugadores de un equipo de fútbol.

Elementos de un Conjunto

  Cada uno de los objetos que forma parte de un conjunto se llama elemento de dicho conjunto.

Ejemplos:

• a es un elemento del conjunto formado por las letras vocales.
• El pulgar es un elemento del conjunto de los dedos de la mano derecha.

  Generalmente, para simbolizar un conjunto se utilizan letras mayúsculas y para simbolizar un elemento, letras minúsculas.

Pertenencia

  Cuando un elemento forma parte de un conjunto, se dice que pertenece al conjunto, y en caso contrario, que no pertenece.

Definición de conjuntos

  Un conjunto se dice que esta bien definido cuando se puede determinar, sin ningún error, cuales son los elementos que forman.

  Un conjunto puede definirse de dos maneras:

A) Por Extensión: nombrando todos y cada uno de los elementos que lo forman. Para escribirlo, se encierran los elementos entre llaves y separados por comas:

Ejemplo:

V={a,e,i,o,u}

y se lee <<V es el conjunto formado por las letras a,e,i,o,u>>

B) Por comprensión: Nombrado una propiedad que cumplan todos los elementos del conjunto y solo ellos.

  Ejemplo: El conjunto de <<las letras vocales>> esta bien definido porque se puede decir sin error si un elemento pertenece o no el. La propiedad <<letras vocales>> la cumplen unas determinadas letras y solo ellas.

Propiedades Características de un conjunto

  A la propiedad que define un conjunto se llama propiedad característica del conjunto.

  El conjunto del ejemplo anterior, definido por comprensión, se escribe:

V={x/x es letra vocal}

y se lee: <<V es el conjunto de elementos x, tal que es letra vocal>>

El símbolo / se lee <<tal que>>

En general, si p es la propiedad característica de un conjunto A, se escribe:

A={x/x posee o cumple la propiedad p} o bien,

A={elementos que cumplen la propiedad p}

Ejemplos:

1. El conjunto de personas que viven en una ciudad H se define por comprensión:

A={x/x=persona que vive en la ciudad H}=

={personas que viven en la ciudad H}

  Para definir-lo por extensión seria necesario nombrar a todas las personas que viven en la ciudad H, una por una, lo cual, obviamente, es complicado.

2. El conjunto formado por una pera, un bolígrafo y un canario, se define mejor por extensión:

B={pera, bolígrafo,canario},

pues para definir-lo por comprensión seria necesario buscar una propiedad que cumplan los tres elementos y solo ellos.

3. El conjunto de provincias que integran la Comunidad Autónoma de Aragon puede definirse de las dos formas:

Extensión: A={Zaragoza, Huesca, Turuel}
Comprensión: A={x/x es provincia de la Comunidad Autónoma de Aragon}

  A veces un conjunto con muchos elementos se expresa por extensión citado solo alguno de ellos y sustituyendo al resto por puntos suspensivos (llamados elipsis) indicando que hay mas elementos y que siguen la norma de los anteriores.

Ejemplos:

1. El conjunto de los números pares se puede expresar:

P={2,4,6,8,10,12,...}

2. El conjunto de los números impares menores que 100 se podría escribir así:

I={1,3,5,7,...,97,99}

Conjunto unitario

Los conjuntos que tienen un solo elemento se llaman conjuntos unitarios.

Así, el conjunto T de los satélites naturales de la Tierra es un conjunto unitario porque solo tiene un elemento: La Luna.

Cardinal de un conjunto

  En un conjunto cualquiera A, se llama cardinal del conjunto al numero de sus elementos.

El cardinal del conjunto A suele representarse por n(A).
El cardinal del conjunto A={a,e,i,o,u} es n(A)= 5.

Conjunto binario

  Los conjuntos que tienen dos elementos se llaman binarios.

Así, el conjunto I de países que integran la península Ibérica es un conjunto binario porque tiene dos elementos, España y Portugal:

I={España, Portugal}

Conjunto vació 

  Si un conjunto no tiene ningún elemento se llama conjunto vació.
  Por ejemplo, el conjunto M de meses que en 1988 tuvieron solo 28 días es un conjunto vació, porque 1988 fue un año bisiesto.

El conjunto vació se representa por {} o por Ø

Conjunto finitos e infinitos

  Un conjunto es finito (tiene fin) si sus elementos se pueden contar.

El conjunto A={a,e,i,o,u} es finito.

  Un conjunto es infinito (no tiene fin) si sus elementos no se pueden contar.

 El conjunto de los números pares, el de números naturales, el de números enteros, el de números racionales, son todos conjuntos infinitos.